求构件实长线的方法

旋转法就是将倾斜线环绕垂直于某投影面的轴线，旋转到与另一投影面平行的位置，则在该投影面上的投影线段，即为倾斜线的实长。为了作图方便，轴线一般过倾斜线的一个端点，也就是以该端点为圆心，以倾斜线为半径进行旋转。

旋转法求实长的原理：下图是旋转法求实长的原理。AB是一般位置线段，它倾斜于任一投影面。AB在V面的投影a'b'和在H面的投影ab，都比实长缩短。假设过AB的一端点A作垂直于H面的轴AO,当AB线绕AO轴线旋转到与V面平行的位置AB1时，它在V面上的投影a'b1'（图中以虚线表示实长)便反映其实长。

旋转法求实长的作图方法：下图是运用旋转法求实长的具体作图方法。其中下图（a）是将水平投影ab进行旋转，使之与正立投影面相平行，得出点a1、b1,连接a1b'或a'b1，就是线段AB的实长；下图（b）是将正立投影a'b'进行旋转，使之与水平投影面相平行，得出a1、b1，连接a1b或ab1就是所求AB线段的实长。

实例：下图为用旋转法求斜棱锥棱线实长示意图。从投影图中可以看出，斜棱锥的底面平行于水平面，它的水平投影反映其实形和实长。其余的四个面(侧面)是两组三角形，其投影都不反映实形，要求得两组三角形的实形，必须求出其棱线的实长。由于形体前后对称，故只需求出两条侧棱的实长，便可画出展开图。

作展开图的具体步骤：

1.用旋转法求侧棱Oc、Od的实长。如下图所示，以O为圆心，分别以Oc、Od为半径作旋转，交水平线于c1、d1。从c1、d1向上引垂直线，与正立投影c'd'的延长线交于c1'd1',连接O'c1'、O'd1'就是侧棱Oc和Od的实长。

2.在图上适当位置作一线段AD使长度等于ad，再分别以A、D两点为圆心，以Od'为半径作弧，交于O点，画出△AOD；再以O为圆心，Oc1'为半径作弧，与以D为圆心、dc 为半径所作的弧交于C点，连接OC、DC得△DOC。用同样的方法画出其余两个侧面△COB和△BOA，即得三棱锥，侧面的展开图。

下图为截头正圆锥，求素线实长和展开时，应先补画出锥顶，成为完整的圆锥，然后在锥面上作出一系列素线，并用旋转法求出这些素线被截去部分素线的实长(也可用留下部分素线的实长)，就可作出展开图。

求被截去部分素线实长的作图步骤如下：

1.延长外形线1'1"和7'7"相交，得出锥顶O'；

2.作出锥底的底圆，并将底圆圆周分成若干等份(这里把1/2底圆圆周分为6等份)，得等分点1，2，…，7,从各等分点向主视图作垂直引线，与底圆正立投影相交于1'，2'，…，7'各点，再由各点与锥顶O'作连线，得圆锥面各素线；

3.在圆锥面的各素线中，只有轮廓素线1"1'、7"7'平行于正立投影，反映其实长，其余都不反映实长，必须用旋转法求出其实长。方法是从7"，6"…，2"作7'1'的平行线，与O'1'轮廓素线交于7°，6°，…， 2°各点，O'6°， O'5°，…，O'2°分别为O'6"，O'5"，…，O'2" 的实长。

上图用旋转法求斜圆锥素线实长示意图。其作图步骤如下：

1.先作出1/2底圆，将底圆圆周分为若干等份(图中分为6等份)；

2.以垂足O为圆心，O1，O2，…，O6为半径作弧，与1~7线交于2"等各点；

3.作2"等各点与O'的连线，O'2'等就是过等分点各素线的实长。也就是说，O'2'是O2素线的正立投影线，O'2"是O2素线的实长。

下图所示为用旋转法求方圆接头棱线的实长并将其展开示意图。

其棱线实长的作图步骤为：

1. 画出主视图和俯视图，等分俯视图圆口，连接相应的素线；

2. 将素线a1、(a4)、 a2、(a3) 旋转，并向上引垂直线，在主视图右方得出它们的实长a-1、(a-4)和a-2、(a-3)；

3.用素线实长、方口边长和圆口等分弧展开长，依次画出1/4展开图。

凡属方管与圆管相对接的过渡部位，必须要有方圆接头。方口可以是正方形口，也可以是矩形口，圆口可以在中心位置，也可以偏向一边或偏向一角，因此，这类接头的形式可以多种多样，但求方圆接头实长的方法基本上是一样的。

直角三角形法是一种常用的求实长方法。

直角三角形法求实长的原理及作图方法：下图（a）为直角三角形法求实长的原理图。线段AB与投影面不平行，其投影ab及a'b'不反映实长。在ABba平面内，过A点作一直线平行于ab，并与Bb相交于点B1，则得直角三角形ABB1。在这个三角形中，只要知道两直角边AB1和BB1的长度，则直角三角形的斜边AB的实长即可求出。而AB1和BB1的长度在投影图上是可以求得的，即AB1=ab，BB1=b'b1'，或BB1= b'bx - a'ax。知道这样两个直角边就可以唯一地画出所求的直角三角形。

上图(b)是运用直角三角形法求实长的方法。已知AB直线的投影为ab及a'b’，欲求AB实长，可先过点a'作水平线，交bb'连线于点b1'，bb1'即为所求的一个直角边长。再以俯视图中ab为另一直角边，过点b引垂线并截取bB0= b'b1'， 连接aB0，即为该线段实长。

实例：下图所示为一大小方口接头，试求出其上素线AC及辅助线BC的实长。

从图中可看出，实长AC可以在以aC和Aa为两直角边的直角三角形中求得，而实长BC可以在直角三角形BbC中求得。在这两个三角形中，Aa= Bb=h，即等于接头的高度。另外两个直角边aC和bC分别等于AC和BC在俯视图中的投影ac、bc。 这样，AC和BC的实长就可以按下列步骤求得：

1.作一直角B0OC0；

2.在该直角的水平边上分别截取OA0、OB0等于俯视图中的ac、bc，在垂直边上截取OC0，等于主视图高度h；

3.连接C0A0和C0B0，则斜边C0A0和C0B0即为所求AC和BC的实长。

直角梯形法也是一种常用的求实长方法。

直角梯形法求实长的原理及作图方法：如下图所示为利用直角梯形法求实长的原理图。图中一般位置线段AB在V面和H面上都不能反映实长，但线段AB的两个端点与V面之间的距离可以在H面上得到，即Aa和Bb，同样，A、B两点与H面之间的距离也可以在V面上得到，即Aa'和Bb'。根据这一原理，用直角梯形法就可以求出线段AB的实长。具体求实长的作图方法有以下两种：

1.利用正立投影求线段AB的实长：将AB的正立投影a'b’作为直角梯形的底边，由a'、b' 两点分别向上引垂直线，截取长度为Aa'、Bb'，连接AB，即为所求。

2.是利用水平投影求线段AB的实长：将AB的水平投影ab作为直角梯形的底边，由a、b两点分别向上引垂直线，截取长度为Aa、Bb，连接AB即为所求。

实例：下图所示马蹄形变形接头，其上、下口都是圆，但两圆不平行且直径不相等，试用直角梯形法作出其实线长及展开图。

从上图（a）可以看出，由于它的表面不是一个圆锥面，为了作出它的展开图，只能用来回线将表面分成若干个三角形，且逐个求出这些三角形的实形。具体作图步骤如下：

1.将上、下口各作12等分，按图所示将表面分成24个三角形。

2.求Ⅰ-Ⅱ、Ⅱ-Ⅲ、…、 Ⅵ-Ⅶ各线段的实长，由此再作出这一系列三角形的实形。

如此类实例，若采用旋转法或直角三角形法求实长，均必须作出线段在俯视图上的投影。由于马蹄形变形接头的顶面与水平投影面倾斜，因此顶面在俯视图上反映为一椭圆，显然，这两种方法作展开图，都比较麻烦，此时，宜采用直角梯形法。

如将上图(b)中的Ⅰ-1-Ⅱ-2-Ⅲ-3…XII-12折叠面伸展摊平成图如下图所示，则图中上面的折线Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ…XII，即为实长Ⅰ-Ⅱ、Ⅱ-Ⅲ、…、 Ⅵ-Ⅶ等的连线。这种求实长的方法就是直角梯形法。

从作图方法可知，直角梯形法也是以倾斜线的一个投影为底边，以倾斜线两端点距同一投影面的距离为两直角边，组成直角梯形后，则该直角梯形的斜边，即为所求线段的实长。其中直角三角形可以看作为直角梯形法中一直角边的长度等于零的特殊情况。

采用以上方法求得马蹄形变形接头表面上各个三角形的两根边线，另一边线即为上、下圆口等分弧的展开长。这样就可用已知三边作三角形的方法，作出一系列三角形的实形，依次排列，即得马蹄形变形接头的展开图如下。

除上述介绍的求实长线方法外，常用的还有换面法。

换面法求实长的原理及作图方法：换面法的原理是使空间线段保持不动，另作新投影面使之与所求线段平行，并与原来的一个投影面垂直，则该线段在新投影面上的投影便反映它的真实长度。上图为换面法求作实长的的原理图。

由上图(a)可知，直线段AB与H和V两投影面都不平行，其投影都不能反映实长。这时可以作一新投影面P,使之与AB平行，并与平面H垂直，则新投影a1'b1'反映AB的实长。对上图(a)所示空间作进一步分析，可以看出换面法的以下几个投影关系。

1.由于新投影面P平行于AB并垂直于H面，那么反映在H面投影上，新投影面P与H面的交线O1X1(称为新投影轴)，必然与直线AB的H面投影ab平行，即O1X1 // ab。

2.因为P面与V面同时垂直于H面，故P面投影a1'b1'到O1X1的距离和V面投影a'b'到OX的距离，必然同时反映了空间直线两端点A、B到H面的垂直距离，而且它们彼此相等，即a1ax1=a'ax=Aa和b1'bx1=Bb。为了便于称呼，把新作的与AB平行的反映实长的投影a1'b1'叫做新投影，把原来不反映实长的投影a'b'叫做旧投影或替换的投影，并把与它们同时垂直的H面投影叫做不变投影。这样，换面法的这个投影关系可以表达为新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。

3.因为P面和V面都垂直H面，所以展开后，直线上任一点的P面投影与H面投影的连接必须垂直于新投影轴O1X1，即不变投影与新旧两个投影的连线分别垂直于新旧两个投影轴。

按照换面法的上述投影关系，其作图步骤应该是：

1.如上图(b)所示，作一新投影轴O1X1平行于ab。

2.过a、b两点向O1X1轴引垂直线，并交O1X1于ax1、bx1两点。

3.将V面投影a'、b'到OX轴的距离搬到新投影面上，即在垂线上量取ax1a1'=axa'，bx1b1'=bxb'。

4.连接a1'、b1'两点，即为AB直线的新投影a1'b1'，它反映AB的实长。

实例：下图所示是利用辅助投影面法求圆柱截面的实形。

作图步骤如下：

1. 作出主视图和俯视图，将俯视图的1/2圆周进行6等分；

2. 过等分点向上引垂直线，得出素线在主视图中的位置；

3.从等分点向下引垂直线，与底中心线相交，即截面各素线间的宽度；

4.过截面斜口上各素线之交点向平行于截面斜口的长轴引垂直线，然后按照“宽相等"的规则，把俯视图中各等分点与底圆中心线之距离，依次相对应地画到辅视图中，得出各点；

5.顺连各点，即为截面之实形一椭圆。

下图所示是利用辅助投影面法求正圆锥截面的实形。图中①，②，…⑦表示作图与连线的先后顺序。

一般作圆锥体的截面实形不必在锥面上引素线，而采用纬圆法较好，如上图所示。为使图面线条清晰，本例将作图的三个步骤分别画出，实际作图时不必分开。作图步骤如下。

1.作纬圆：将截面的投影线6等分；作上述等分点的水平线与外形轮廓线相交；由轮廓线上各交点向下引垂直线，交于锥底；以O圆心，依次把各纬圆画出，见上图（a）。

2.作截面俯视图：通过主视图里截面线各等分点，向下引垂直线，与相应的纬圆相交，得出一系列交点；顺连各交点，就能得出截面的俯视投影，见上图 (b)。

3.求截面实形：作平行于截面的椭圆长轴1"7"；由截面各等分点1~7向长轴1"7"引垂直线；按照宽度相等的原则，把截面在俯视图里一系列的宽度a、b、c、d、e依次画到辅助投影图里去，得出2"、3"、4"、5"、6"各点；顺连各点，即为所求正圆锥截面之实形，见图上图(c)。

下图所示是利用辅助投影面法求斜圆锥截面的实形。

用辅助视图作斜圆锥截面的实形，类似于正圆锥截面实形的作法。但是斜圆锥有一个特点，就是锥顶偏向一边，其轴线也是倾斜的，使得它一系列纬圆的圆心不在一条轴线的同一点上。因此，作纬圆时，不是作同心圆，而是一个纬圆一个圆心。掌握了这一特点，就可仿照前述三个步骤把截面实形的辅助视图画出来。

具体作图步骤如下：

1.作纬圆：将截面线4等分；作等分点的水平线，与轮廓线相交；由轮廓线上各点向下引垂直线，与底圆相交；等分点水平线与轴线相交各点为纬圆的圆心，把圆心引向底圆；分别以纬圆的圆心和相应半径作纬圆。

2.作截面的俯视图：通过主视图里截面线各等分点，向下引垂直线，与相应的纬圆相交，得出一系列交点；顺连各交点，就能得出截面的俯视投影。

3.作截面实形：根据俯视图里所求得的截面形状的宽度，作1/2辅助视图，就能画出该斜圆锥截面的1/2实形。

根据上述分析、介绍，可对求实长线的四种方法的求实长原理作一个简单的比较：

旋转法是通过改变空间图形的位置，而不改变投影面的位置进行实长线求解的。

换面法则是通过改变投影面的位置，而不改变空间图形的位置来进行实长线的求解。

直角三角形法及直角梯形法(直角三角形法可看成是直角梯形法的特例)求解实长线时，则既不改变空间图形的位置，也不改变投影面的位置。